一辺の長さが2の正四面体ABCDが、図のように立方体に含まれている。以下の3つの問題を解く。 (1) この立方体の一辺の長さを求める。 (2) ACの中点をM, BDの中点をNとするとき、MNの長さを求める。 (3) 四面体ABCDの体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDが、図のように立方体に含まれている。以下の3つの問題を解く。

(1) この立方体の一辺の長さを求める。

(2) ACの中点をM, BDの中点をNとするとき、MNの長さを求める。

(3) 四面体ABCDの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 立方体の一辺の長さを求める。正四面体の一辺の長さが2なので、立方体の一辺の長さを $x$ とすると、正四面体の頂点A, B, C, Dは立方体の各辺上に位置する。

正四面体の各辺は、立方体の面の対角線の一部になっている。したがって、立方体の面における直角二等辺三角形の斜辺の長さが正四面体の一辺の長さに等しくなる。この直角二等辺三角形の二辺の長さは、立方体の一辺の長さ $x$ に等しい。

よって、三平方の定理より、

$x^2 + x^2 = 2^2$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$

(2) MNの長さを求める。

MはACの中点、NはBDの中点なので、空間座標を設定して考える。

A(0, 0, 0), C($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, 0), B(0, $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$), D($\sqrt{2}$, 0, $\sqrt{2}$) とすると、

M($\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 0), N($\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sqrt{2}$) となる。

MNの長さは、

$MN = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 0 + 2} = \sqrt{2}$

(3) 四面体ABCDの体積を求める。

四面体ABCDの体積は、立方体の体積から4つの合同な三角錐を引くことで求められる。

立方体の体積は $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$

各三角錐は、底面が直角二等辺三角形で、高さが$\sqrt{2}$である。

三角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

4つの三角錐の体積の合計は $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

四面体ABCDの体積は $2\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$