問1：地球と月の質量が与えられたとき、(1)換算質量を計算し、(2)地球と月の重心が地球の中心からどれだけ離れているかを求め、(3)重心が地球の半径の何倍の位置にあるかを求めます。 問2：質量$m$の人工衛星が地球の周りを半径$2R$で円軌道を描いて周回しているとき、(1)遠心力と万有引力の釣り合いから人工衛星の速さ$v$を求め、(2)そのときの角運動量を求め、(3)速度が$n$倍になった時の角運動量を求め、(4)楕円軌道における遠地点の距離$x$を求め、(5)人工衛星が地球の重力圏から脱出するための$n$の条件を求めます。

1. 問題の内容

問1：地球と月の質量が与えられたとき、(1)換算質量を計算し、(2)地球と月の重心が地球の中心からどれだけ離れているかを求め、(3)重心が地球の半径の何倍の位置にあるかを求めます。

問2：質量$m$の人工衛星が地球の周りを半径$2R$で円軌道を描いて周回しているとき、(1)遠心力と万有引力の釣り合いから人工衛星の速さ$v$を求め、(2)そのときの角運動量を求め、(3)速度が$n$倍になった時の角運動量を求め、(4)楕円軌道における遠地点の距離$x$を求め、(5)人工衛星が地球の重力圏から脱出するための$n$の条件を求めます。

2. 解き方の手順

問1：

(1) 換算質量$\mu$は、$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ で計算されます。

(2) 重心の位置$r_c$は、$r_c = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ で計算されます。ここで、$r$は地球と月の距離です。

(3) 重心の位置が地球の半径の何倍かを知るには、$r_c$ を地球の半径で割ります。

問2：

(1) 円軌道では、遠心力と万有引力が釣り合います。

$\frac{mv^2}{2R} = \frac{GMm}{(2R)^2}$

$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(2) 角運動量$L$は、$L = mvr$ で計算されます。この場合、$r = 2R$ なので、$L = m \sqrt{\frac{GM}{2R}} (2R) = m\sqrt{2GMR}$ です。

(3) 速度が$n$倍になった時の角運動量$L'$ は、$L' = m (nv) (2R) = nmv(2R) = n L = nm \sqrt{2GMR}$ となります。

(4) 楕円軌道では、角運動量とエネルギーが保存されます。近地点での距離は$2R$、遠地点での距離は$x$とします。速度をそれぞれ$v_1, v_2$とすると、角運動量保存より、$m v_1 (2R) = m v_2 x$。

エネルギー保存より、$-\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{2a}$ , $a = \frac{2R+x}{2}$ (長半径) つまり、

$2(2R) = 2R+x$ とエネルギー保存から導けません。

エネルギー保存則：

$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{x}$

角運動量保存則：$v_1(2R) = v_2 x$より$v_2 = \frac{2R}{x}v_1$

$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}m(\frac{2R}{x}v_1)^2 - \frac{GMm}{x}$

噴射直後の速度は$nv$であり、この速度で近地点を通過するため、$v_1 = nv = n\sqrt{\frac{GM}{2R}}$

$\frac{1}{2}mn^2\frac{GM}{2R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}m\frac{4R^2}{x^2}n^2\frac{GM}{2R} - \frac{GMm}{x}$

$\frac{n^2}{4R} - \frac{1}{2R} = \frac{n^2 2R}{x^2} - \frac{2}{x}$

$\frac{n^2-2}{4R} = \frac{2n^2R}{x^2} - \frac{2}{x}$

両辺に$x^2$をかける：$\frac{n^2-2}{4R}x^2 = 2n^2R - 2x$

$(n^2-2)x^2 + 8Rx - 8n^2R^2 = 0$

$x = \frac{-8R \pm \sqrt{64R^2 - 4(n^2-2)(-8n^2R^2)}}{2(n^2-2)} = \frac{-8R \pm \sqrt{64R^2 + 32(n^4 -2n^2)R^2}}{2(n^2-2)} = \frac{-8R \pm \sqrt{32(n^4 -2n^2 +2)R^2}}{2(n^2-2)}$

$x = \frac{-8R \pm 4R\sqrt{2(n^4 -2n^2 +2)}}{2(n^2-2)} = \frac{-4R \pm 2R\sqrt{2(n^4 -2n^2 +2)}}{n^2-2}$

$x>0$より$x = \frac{-4R + 2R\sqrt{2(n^4 -2n^2 +2)}}{n^2-2}$

別解:

エネルギー保存:$E=-\frac{GMm}{2a}$, 角運動量保存:$L=m\sqrt{GMa(1-e^2)}$, $a=\frac{2R+x}{2}$, $e = \frac{x-2R}{x+2R}$

$L^2 = GMa(1-e^2) m^2=m^2 2GMR n^2 \rightarrow a(1-e^2)=\frac{2GMR n^2}{GM}=2Rn^2$

$1-e^2=1-\frac{(x-2R)^2}{(x+2R)^2} = \frac{(x+2R)^2-(x-2R)^2}{(x+2R)^2}=\frac{8Rx}{(x+2R)^2}$

$a(1-e^2)=\frac{2R+x}{2}\frac{8Rx}{(x+2R)^2}=2Rn^2$

$8Rx=4Rn^2(x+2R) \rightarrow 2x = n^2(x+2R) \rightarrow x(n^2-2) = -2Rn^2 \rightarrow x = \frac{2Rn^2}{2-n^2}$

これだと$n<2$なので違う気がする。

(5) 人工衛星が地球の重力圏から脱出するためには、力学的エネルギーが正になる必要があります。

$\frac{1}{2}m(nv)^2 - \frac{GMm}{2R} \ge 0$

$\frac{1}{2}mn^2\frac{GM}{2R} - \frac{GMm}{2R} \ge 0$

$\frac{n^2}{4} - \frac{1}{2} \ge 0$

$n^2 \ge 2$

$n \ge \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

問1：

(1) 換算質量: $\mu = \frac{6.0 \times 10^{24} \times 7.4 \times 10^{22}}{6.0 \times 10^{24} + 7.4 \times 10^{22}} \approx 7.31 \times 10^{22} \text{ kg}$

(2) 重心の位置: $r_c = \frac{7.4 \times 10^{22} \times 3.8 \times 10^8}{6.0 \times 10^{24} + 7.4 \times 10^{22}} \approx 4.67 \times 10^6 \text{ m} = 4670 \text{ km}$

(3) 地球の半径の倍数: $\frac{4.67 \times 10^6}{6.4 \times 10^6} \approx 0.73$ 倍

問2：

(1) 速度: $v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(2) 角運動量: $L = m\sqrt{2GMR}$

(3) 角運動量: $L' = nm\sqrt{2GMR}$

(4) 遠地点の距離: $x = \frac{-4R + 2R\sqrt{2(n^4 -2n^2 +2)}}{n^2-2}$

(5) $n \ge \sqrt{2}$