半径 $6378 \text{ km}$ の地球上の2点 $P(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ と $Q(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられたとき、2点間の短い方の弧の長さを求める。ただし、円周率は $3.14$ とする。

1. 問題の内容

半径 $6378 \text{ km}$ の地球上の2点 $P(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ と $Q(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられたとき、2点間の短い方の弧の長さを求める。ただし、円周率は $3.14$ とする。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ と点 $Q$ が単位球面上の点であることを確認する。

$P(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ と $Q(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ について、それぞれの点の座標の二乗和を計算する。

$P$について: $(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} + \frac{4}{16} = \frac{16}{16} = 1$

$Q$について: $(-\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{12}{16} = \frac{16}{16} = 1$

したがって、点 $P$ と点 $Q$ は単位球面上にある。

次に、2点 $P$ と $Q$ の間の中心角 $\theta$ を求める。

$\cos \theta = P \cdot Q = (\frac{\sqrt{3}}{4})(-\frac{1}{4}) + (\frac{3}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{3\sqrt{3}}{16} + \frac{4\sqrt{3}}{16} = \frac{6\sqrt{3}}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\theta = \arccos(\frac{3\sqrt{3}}{8})$

ここで、$\theta$ をラジアンで表す。$\theta \approx 0.76159$ ラジアン。

最後に、弧の長さ $L$ を求める。地球の半径 $R = 6378 \text{ km}$ を用いて、$L = R\theta$ で計算する。

$L = 6378 \times 0.76159 \approx 4857.4 \text{ km}$

3. 最終的な答え

$L = 6378 \arccos(\frac{3\sqrt{3}}{8})$