直線 $y = ax + 2$ 上に点 A, E があり、x 軸上に点 B, C, G がある。四角形 ABCD, ECGF はともに正方形であり、点 B, G の x 座標がそれぞれ 2, 42 であるとき、a の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = ax + 2$ 上に点 A, E があり、x 軸上に点 B, C, G がある。四角形 ABCD, ECGF はともに正方形であり、点 B, G の x 座標がそれぞれ 2, 42 であるとき、a の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 B の x 座標が 2 であることから、点 C の x 座標は $2 + AB$ と表せる。同様に、点 G の x 座標が 42 であることから、点 E の x 座標は $42 - EC$ と表せる。四角形 ABCD と ECGF は正方形なので、$AB = BC$ かつ $EC = CG$ が成り立つ。

$BC = OC - OB$ なので、$BC = OC - 2$

$CG = OG - OC$ なので、$CG = 42 - OC$

点Aのx座標は2なので、$A(2, 2a+2)$。よって、$AB = 2a+2$。

点Eのx座標は$42-EC$なので、$E(42-EC, a(42-EC)+2)$。EC=CGより、$EC=42-OC$だから、$E(OC, a(OC)+2)$。

$AB = BC$ より、$2a+2 = OC-2$。よって、$OC = 2a+4$。

$EC = CG$ より、$42 - OC = OC$。よって、$OC = 21$。

したがって、$2a + 4 = 21$。

$2a = 17$

$a = \frac{17}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{17}{2}$