次の不定積分を求めなさい。 $\int (-8x^4) \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。

$\int (-8x^4) \, dx$

2. 解き方の手順

不定積分の基本的な公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし、$n \neq -1$）を利用します。

まず、積分記号の外に定数 $-8$ を出します。

$\int (-8x^4) \, dx = -8 \int x^4 \, dx$

次に、$x^4$ の積分を計算します。$n=4$ なので、公式を適用すると、

$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

したがって、

$-8 \int x^4 \, dx = -8 \cdot \frac{x^5}{5} + C = -\frac{8}{5}x^5 + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{5}x^5 + C$