定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$ が表すものを問う問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$ が表すものを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、定積分を計算します。

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) \, dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x \right]_{\alpha}^{\beta}$

$= \left( \frac{1}{3}\beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\beta^2 + \alpha\beta^2 \right) - \left( \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + \alpha^2\beta \right)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 + \beta^3 - \alpha^3 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= (\beta - \alpha) \left( -\frac{1}{6}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta \right)$

$= (\beta - \alpha) \left( -\frac{1}{6}\beta^2 - \frac{1}{6}\alpha\beta - \frac{1}{6}\alpha^2 + \frac{3}{6}\alpha\beta \right)$

$= (\beta - \alpha) \left( -\frac{1}{6}\beta^2 + \frac{2}{6}\alpha\beta - \frac{1}{6}\alpha^2 \right)$

$= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha) (\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2)$

$= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha) (\beta - \alpha)^2$

$= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$

この定積分は、$y = (x - \alpha)(x - \beta)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を表します。

ただし、$\alpha < \beta$ のとき、この面積は負の値で表されます。なぜなら、$x$ 軸より下の領域だからです。

したがって、$\alpha < \beta$ のとき、囲まれた部分の面積は $\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$ は、$y = (x - \alpha)(x - \beta)$ と $x$ 軸($y=0$) で囲まれた部分の符号付き面積を表します。