次の極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n}}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母の共役な式 $\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{n}{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n}} = \frac{n(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n})} = \frac{n(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n})}{(n^2+1) - n} = \frac{n(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n})}{n^2-n+1}$

次に、分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\frac{n(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n})}{n^2-n+1} = \frac{n(\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})} + \sqrt{n})}{n^2(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \frac{n(n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{n})}{n^2(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \frac{n^2\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + n\sqrt{n}}{n^2(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}$

さらに、分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\frac{n^2\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + n\sqrt{n}}{n^2(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \frac{\sqrt{n}}{n}}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{1}{n^2} \to 0$ となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{\sqrt{1+0} + 0}{1-0+0} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

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