与えられた8つの関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 5)$ (2) $\lim_{x \to 3} (x - 1)(x - 3)$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2}$ (4) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ (7) $\lim_{x \to \infty} e^x$ (8) $\lim_{x \to \infty} \log x$

1. 問題の内容

与えられた8つの関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 5)$

(2) $\lim_{x \to 3} (x - 1)(x - 3)$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2}$

(4) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$

(7) $\lim_{x \to \infty} e^x$

(8) $\lim_{x \to \infty} \log x$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 2$ なので、直接代入します。

$3(2)^2 + 5(2) - 5 = 12 + 10 - 5 = 17$

(2) $x \to 3$ なので、直接代入します。

$(3 - 1)(3 - 3) = 2 \cdot 0 = 0$

(3) $x \to 1$ なので、直接代入すると $\frac{0}{0}$ と不定形になるため、因数分解します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 4)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{1 + 4}{1 + 2} = \frac{5}{3}$

(4) $x \to -2$ なので、直接代入すると $\frac{0}{0}$ と不定形になるため、因数分解します。

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{-2 - 1}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

(5) $x \to \infty$ なので、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{2 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{2}{3}$

(6) $x \to \infty$ なので、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

(7) $x \to \infty$ なので、$e^x$ は無限大に発散します。

$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$

(8) $x \to \infty$ なので、$\log x$ は無限大に発散します。

$\lim_{x \to \infty} \log x = \infty$

3. 最終的な答え

(1) 17

(2) 0

(3) $\frac{5}{3}$

(4) $\frac{3}{4}$

(5) $\frac{2}{3}$

(6) 0

(7) $\infty$

(8) $\infty$