与えられた極限を計算します。問題は、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2}}$ を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2}}$

を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母と分子に$\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}$を掛けます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}}{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2})}$

分母を展開すると、

$(\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}) = (n+2) - (n-2) = n+2 - n + 2 = 4$

したがって、極限は以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}}{4}$

次に、$n$を括り出すことを考えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n(1-\frac{2}{n})}}{4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + \sqrt{1-\frac{2}{n}})}{4}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$となるので、$\sqrt{1+\frac{2}{n}} \to 1$と$\sqrt{1-\frac{2}{n}} \to 1$となります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(1 + 1)}{4} = \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n}}{4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{2}$

$n \to \infty$のとき、$\sqrt{n} \to \infty$となるため、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{2} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$