与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n - 4}{2n + 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n - 4}{2n + 1}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、分子と分母を $n$ で割ることを考えます。しかし、分子の次数が分母の次数よりも高いので、$\frac{n^2}{n}$の項が残り、$n \to \infty$のとき、極限は発散することが予想されます。

そこで、分子と分母を$n$で割る代わりに、$n^2$で割ることを考えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n - 4}{2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{4}{n^2}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$

ここで、$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{4}{n^2} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{4}{n^2}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{0}$ となり、この極限は発散します。

分子の次数が分母の次数よりも高いので、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n - 4}{2n + 1} = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\infty$