媒介変数 $t$ を用いて、$x$ と $y$ の関係が $x=t^2-1$, $y=t+1$ ($-2 \le t \le 2$) と表されている。 (1) $dy/dx$ を求める。 (2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加させたとき曲線上の点 $(x,y)$ がどのように移動するか示す。 (3) $t=-1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x$ と $y$ の関係が $x=t^2-1$, $y=t+1$ ($-2 \le t \le 2$) と表されている。

(1) $dy/dx$ を求める。

(2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加させたとき曲線上の点 $(x,y)$ がどのように移動するか示す。

(3) $t=-1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dt} = 1$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{2t}$

(2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加させたとき曲線上の点 $(x,y)$ がどのように移動するかを示す。

$x = t^2 - 1$ と $y = t + 1$ から $t$ を消去する。

$t = y - 1$ より、$x = (y-1)^2 - 1 = y^2 - 2y + 1 - 1 = y^2 - 2y$

$x = y^2 - 2y$ を変形すると、$x = (y-1)^2 - 1$.

これは、$y$ についての2次関数であり、グラフは放物線の一部となる。

範囲は $-2 \le t \le 2$ なので、

$t = -2$ のとき、 $x = (-2)^2 - 1 = 3$, $y = -2 + 1 = -1$

$t = 2$ のとき、 $x = (2)^2 - 1 = 3$, $y = 2 + 1 = 3$

したがって、グラフは点 $(3, -1)$ から点 $(3, 3)$ までの放物線となる。

$t$ が増加すると、$y$ は増加する。$t$ が $-2$ から $0$ まで増加すると、$x$ は $3$ から $-1$ まで減少し、$t$ が $0$ から $2$ まで増加すると、$x$ は $-1$ から $3$ まで増加する。

(3) $t = -1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求める。

$t = -1$ のとき、$x = (-1)^2 - 1 = 0$, $y = -1 + 1 = 0$

したがって、接点を $(0, 0)$ とする。

$t = -1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$

接線の傾きは $-\frac{1}{2}$ なので、接線の方程式は $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ より、

$y = -\frac{1}{2}x$

法線の傾きは接線の傾きの逆数にマイナスをつけたものなので、$-\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$

法線の方程式は $y - 0 = 2(x - 0)$ より、

$y = 2x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2t}$

(2) $x = y^2 - 2y$。$t$ が増加すると、$y$ は増加する。

(3) 接線の方程式：$y = -\frac{1}{2}x$、法線の方程式：$y = 2x$