数学的帰納法を用いて、関数 $x^n$ の導関数が $nx^{n-1}$ であることを証明する過程の一部です。$n=k$ のときに成り立つと仮定し、$n=k+1$ のときにも成り立つことを示すことで、すべての自然数 $n$ に対して成り立つことを証明します。問題は、$(x^{k+1})'$ の計算過程における空欄（ウ）を埋めることです。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、関数 $x^n$ の導関数が $nx^{n-1}$ であることを証明する過程の一部です。$n=k$ のときに成り立つと仮定し、$n=k+1$ のときにも成り立つことを示すことで、すべての自然数 $n$ に対して成り立つことを証明します。問題は、$(x^{k+1})'$ の計算過程における空欄（ウ）を埋めることです。

2. 解き方の手順

まず、$n=k$ のとき $(x^k)' = kx^{k-1}$ が成り立つと仮定します。

次に、$(x^{k+1})'$ を計算します。積の微分公式を用いて、

$(x^{k+1})' = (x \cdot x^k)' = x' \cdot x^k + x \cdot (x^k)'$ となります。

$x' = 1$ および $(x^k)' = kx^{k-1}$ を代入すると、

$(x^{k+1})' = 1 \cdot x^k + x \cdot kx^{k-1} = x^k + kx^k = (1+k)x^k = (k+1)x^k$ となります。

したがって、空欄（ウ）に入るのは $1$ です。

3. 最終的な答え

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