関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ の指数関数として書き換えます。

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

したがって、

$$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$$

次に、$y$ を $x$ について微分します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}})$$

べき乗の微分規則を使用します。

$$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

ここで、$n = -\frac{1}{2}$ となります。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

$x^{-\frac{3}{2}}$ を $x$ の平方根の形で書き換えます。

$$x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x \sqrt{x}}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \sqrt{x}} = -\frac{1}{2x \sqrt{x}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$