与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。2つの小問があります。 (1) 曲線 $y^2 = -8x$ 上の点 $A(-1, -2\sqrt{2})$ (2) 曲線 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ 上の点 $A(-1, 3)$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。2つの小問があります。

(1) 曲線 $y^2 = -8x$ 上の点 $A(-1, -2\sqrt{2})$

(2) 曲線 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ 上の点 $A(-1, 3)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $y^2 = -8x$ を $x$ で微分します。

$2y \frac{dy}{dx} = -8$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{y}$

点 $A(-1, -2\sqrt{2})$ における接線の傾き $m_t$ は、

$m_t = -\frac{4}{-2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

接線の方程式は、$y - y_1 = m_t(x - x_1)$ より、

$y - (-2\sqrt{2}) = \sqrt{2}(x - (-1))$

$y + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{2}x - \sqrt{2}$

法線の傾き $m_n$ は、接線の傾きと直交するので、$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

法線の方程式は、$y - y_1 = m_n(x - x_1)$ より、

$y - (-2\sqrt{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - (-1))$

$y + 2\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2)

次に、曲線 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{12}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{6}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{y}{6}\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}$

点 $A(-1, 3)$ における接線の傾き $m_t$ は、

$m_t = -\frac{3(-1)}{3} = 1$

接線の方程式は、$y - y_1 = m_t(x - x_1)$ より、

$y - 3 = 1(x - (-1))$

$y - 3 = x + 1$

$y = x + 4$

法線の傾き $m_n$ は、接線の傾きと直交するので、$m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$

法線の方程式は、$y - y_1 = m_n(x - x_1)$ より、

$y - 3 = -1(x - (-1))$

$y - 3 = -x - 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式：$y = \sqrt{2}x - \sqrt{2}$

法線の方程式：$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) 接線の方程式：$y = x + 4$

法線の方程式：$y = -x + 2$