関数 $y = \frac{1}{2x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分法（連鎖律）または商の微分法を使うことができます。ここでは商の微分法を使用します。

商の微分法は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の導関数が

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = 1$ および $v(x) = 2x^2 - 1$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 1) = 4x$

次に、商の微分法の公式に当てはめます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{0 \cdot (2x^2 - 1) - 1 \cdot (4x)}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(2x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(2x^2 - 1)^2}$