関数 $y = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ の導関数 $y'$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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3. (1) y = x^2 sin(1/x) の導関数**

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を利用します。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分法は $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ です。

$u = x^2$ と $v = \sin(\frac{1}{x})$ と置くと、

$u' = 2x$

$v' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2} \cos(\frac{1}{x})$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2(-\frac{1}{x^2} \cos(\frac{1}{x})) = 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

$y' = 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

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3. (2) y = log_3(√(x^2+1)) の導関数**

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3(\sqrt{x^2+1})$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、常用対数に変換します。

$y = \log_3(\sqrt{x^2+1}) = \frac{\ln(\sqrt{x^2+1})}{\ln 3} = \frac{1}{2\ln 3} \ln(x^2+1)$

次に、合成関数の微分法を利用します。

$y' = \frac{1}{2\ln 3} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{x}{\ln 3 (x^2+1)}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x}{\ln 3 (x^2+1)}$

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3. (3) y = √(x/(√(x^2+1))) の導関数**

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}} = \sqrt{\frac{x}{(x^2+1)^{1/2}}} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)^{1/2}$

$y = \left(\frac{x}{(x^2+1)^{1/2}}\right)^{1/2} = \frac{x^{1/2}}{(x^2+1)^{1/4}}$

商の微分法 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ と合成関数の微分法を使用します。

$u = x^{1/2}, u' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

$v = (x^2+1)^{1/4}, v' = \frac{1}{4}(x^2+1)^{-3/4} \cdot 2x = \frac{x}{2}(x^2+1)^{-3/4}$

$y' = \frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}(x^2+1)^{1/4} - x^{1/2} \frac{x}{2}(x^2+1)^{-3/4}}{(x^2+1)^{1/2}} = \frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}(x^2+1)^{1/4} - \frac{x^{3/2}}{2}(x^2+1)^{-3/4}}{(x^2+1)^{1/2}}$

$= \frac{\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/4} x^{-1/2} [(x^2+1)-x^2]}{(x^2+1)^{1/2}}$

$= \frac{1}{2x^{1/2} (x^2+1)^{5/4}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x^2+1)^{5/4}}$

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4. (1) y = e^(-2x) の n 次導関数**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-2x}$ の第 n 次導関数 $y^{(n)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算し、パターンを見つけます。

$y' = -2e^{-2x}$

$y'' = (-2)^2e^{-2x} = 4e^{-2x}$

$y''' = (-2)^3e^{-2x} = -8e^{-2x}$

$y^{(4)} = (-2)^4e^{-2x} = 16e^{-2x}$

一般に、$y^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}$ と推測できます。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}$

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4. (2) y = ln(1-x) の n 次導関数**

1. 問題の内容

関数 $y = \ln(1-x)$ の第 n 次導関数 $y^{(n)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算し、パターンを見つけます。

$y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$y'' = -(-1)(1-x)^{-2}(-1) = -(1-x)^{-2}$

$y''' = -(-2)(1-x)^{-3}(-1) = -2(1-x)^{-3}$

$y^{(4)} = -2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = -6(1-x)^{-4}$

$y^{(5)} = -6(-4)(1-x)^{-5}(-1) = -24(1-x)^{-5}$

これらの結果から、$y^{(n)} = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ と推測できます。(n>=1)

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ (n>=1)