$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、次の関数の平均変化率を求めよ。 (1) $y = 4x - 1$ (2) $y = x^2 - 2x + 2$ (3) $y = -2x^3 + x^2$

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、次の関数の平均変化率を求めよ。

(1) $y = 4x - 1$

(2) $y = x^2 - 2x + 2$

(3) $y = -2x^3 + x^2$

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{yの増加量}{xの増加量} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ で求められます。

(1) $y = 4x - 1$ の場合

$f(x) = 4x - 1$

$f(a) = 4a - 1$

$f(b) = 4b - 1$

平均変化率 $= \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(4b - 1) - (4a - 1)}{b - a} = \frac{4b - 1 - 4a + 1}{b - a} = \frac{4(b - a)}{b - a} = 4$

(2) $y = x^2 - 2x + 2$ の場合

$f(x) = x^2 - 2x + 2$

$f(a) = a^2 - 2a + 2$

$f(b) = b^2 - 2b + 2$

平均変化率 $= \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(b^2 - 2b + 2) - (a^2 - 2a + 2)}{b - a} = \frac{b^2 - 2b + 2 - a^2 + 2a - 2}{b - a} = \frac{b^2 - a^2 - 2b + 2a}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a) - 2(b - a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a - 2)}{b - a} = b + a - 2$

(3) $y = -2x^3 + x^2$ の場合

$f(x) = -2x^3 + x^2$

$f(a) = -2a^3 + a^2$

$f(b) = -2b^3 + b^2$

平均変化率 $= \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(-2b^3 + b^2) - (-2a^3 + a^2)}{b - a} = \frac{-2b^3 + b^2 + 2a^3 - a^2}{b - a} = \frac{-2(b^3 - a^3) + (b^2 - a^2)}{b - a} = \frac{-2(b - a)(b^2 + ab + a^2) + (b - a)(b + a)}{b - a} = \frac{(b - a)[-2(b^2 + ab + a^2) + (b + a)]}{b - a} = -2(b^2 + ab + a^2) + b + a = -2b^2 - 2ab - 2a^2 + b + a$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $a + b - 2$

(3) $-2a^2 - 2ab - 2b^2 + a + b$