媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = t^2 - 1$, $y = t + 1$ （$-2 \leq t \leq 2$）について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加したとき曲線上の点 $(x, y)$ がどのように移動するか示します。 (3) $t = -1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = t^2 - 1$, $y = t + 1$ （$-2 \leq t \leq 2$）について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加したとき曲線上の点 $(x, y)$ がどのように移動するか示します。

(3) $t = -1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ をそれぞれ計算し、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 1) = 2t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 1) = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2t}$

(2) 媒介変数表示された曲線を描き、$t$ を増加したとき曲線上の点 $(x, y)$ がどのように移動するか示す

$x = t^2 - 1$ と $y = t + 1$ から $t$ を消去します。$t = y - 1$ なので、これを $x = t^2 - 1$ に代入すると、

$x = (y - 1)^2 - 1$

$x = y^2 - 2y + 1 - 1$

$x = y^2 - 2y$

$x = (y - 1)^2 - 1$

これは放物線を表します。$-2 \leq t \leq 2$ より、$-1 \leq y \leq 3$ です。$t$ が増加すると、$y$ は増加します。したがって、$t$ が $-2$ から $2$ まで増加すると、曲線は $y$ が $-1$ から $3$ まで増加するように移動します。言い換えると、$t$ が増加すると、点は放物線上を上向きに移動します。

(3) $t = -1$ に対応する点における接線と法線の方程式を求める

$t = -1$ のとき、$x = (-1)^2 - 1 = 0$, $y = -1 + 1 = 0$ です。

したがって、接点を$(0, 0)$です。

$t = -1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、接線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

接線の方程式は、

$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$

$y = -\frac{1}{2}x$

$x + 2y = 0$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、 $2$ です。

法線の方程式は、

$y - 0 = 2(x - 0)$

$y = 2x$

$2x - y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2t}$

(2) 曲線は放物線 $x = (y - 1)^2 - 1$ の $-1 \leq y \leq 3$ の範囲であり、$t$ が増加すると、曲線上の点は放物線上を上向きに移動します。

(3) 接線の方程式: $x + 2y = 0$

法線の方程式: $2x - y = 0$