与えられた3つの関数について、それぞれの導関数 $y'$ を求める問題です。 (1) $y = x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ (2) $y = \log_3{\sqrt{x^2 + 1}}$ (3) $y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの導関数 $y'$ を求める問題です。

(1) $y = x^2 \sin{\frac{1}{x}}$

(2) $y = \log_3{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ の導関数を求める。積の微分公式と合成関数の微分公式を使う。

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(\sin{\frac{1}{x}}) = \cos{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$y' = (x^2)' \sin{\frac{1}{x}} + x^2 (\sin{\frac{1}{x}})'$

$y' = 2x \sin{\frac{1}{x}} + x^2 \cos{\frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2})$

$y' = 2x \sin{\frac{1}{x}} - \cos{\frac{1}{x}}$

(2) $y = \log_3{\sqrt{x^2 + 1}}$ の導関数を求める。合成関数の微分公式を使う。

$\log_a x = \frac{\log_e x}{\log_e a} = \frac{\ln x}{\ln a}$ を用いて、底の変換を行う。

$y = \frac{\ln{\sqrt{x^2 + 1}}}{\ln{3}} = \frac{1}{\ln 3} \ln{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{2 \ln 3} \ln{(x^2 + 1)}$

$y' = \frac{1}{2 \ln 3} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)'$

$y' = \frac{1}{2 \ln 3} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$

$y' = \frac{x}{\ln 3 (x^2 + 1)}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$ の導関数を求める。合成関数の微分公式を使う。

$y = (\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2} (\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{(x)'\sqrt{x^2+1} - x(\sqrt{x^2+1})'}{(\sqrt{x^2+1})^2}$

$(\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{\sqrt{x^2+1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

$y' = \frac{1}{2} (\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2} \frac{(\sqrt{x^2+1})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

$y' = \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(x^2+1)} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x^2+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x \sin{\frac{1}{x}} - \cos{\frac{1}{x}}$

(2) $y' = \frac{x}{(x^2 + 1)\ln 3}$

(3) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(x^2+1)}$