与えられた数列の極限を求めます。 $$\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^n}{(n+1)^n}$$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求めます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^n}{(n+1)^n}$$

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、極限を求めやすくします。

まず、全体を $n$ 乗の形にまとめます。

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{n+1} \right)^n$$

次に、$\frac{2n+1}{n+1}$ の部分を変形します。

$$\frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}$$

よって、

$$\lim_{n \to \infty} \left( 2 - \frac{1}{n+1} \right)^n$$

さらに変形します。

$$\lim_{n \to \infty} \left( 2 - \frac{1}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} 2^n \left( 1 - \frac{1}{2(n+1)} \right)^n$$

ここで、$x = n+1$ とおくと、$n \to \infty$ のとき、$x \to \infty$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} 2^{x-1} \left( 1 - \frac{1}{2x} \right)^{x-1}$$

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{2} \left( 1 - \frac{1}{2x} \right)^x \left( 1 - \frac{1}{2x} \right)^{-1}$$

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2x} \right)^x = e^{-\frac{1}{2}}$$

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2x} \right)^{-1} = 1$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^n}{(n+1)^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{2} e^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{2\sqrt{e}} = \infty$$

別解として以下のように解くことも可能です。

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n+1}\right)^n$$

ここで、$2 - \frac{1}{n+1} > 1$ であるため、$n \to \infty$ のとき、$\left(2 - \frac{1}{n+1}\right)^n \to \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\infty$