次の極限値を、平均値の定理を用いて求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$

1. 問題の内容

次の極限値を、平均値の定理を用いて求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin x$ とします。

平均値の定理より、$a$ と $b$ の間に $c$ が存在して、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

が成り立ちます。

この問題では、$a = \sin x$ , $b = x$ とすると、

$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$

となる $c$ が $\sin x$ と $x$ の間に存在します。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ なので、$c \to 0$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \lim_{c \to 0} \cos c$

となります。

$\cos c$ は連続関数なので、

$\lim_{c \to 0} \cos c = \cos 0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = 1$