与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$ を、平均値の定理を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$ を、平均値の定理を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \sin x$ を考えます。

平均値の定理より、$x$ と $\sin x$ の間に、ある $c$ が存在して、

$$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$$

が成り立ちます。ここで、$x \to 0$ のとき、$x - \sin x \to 0$ であることを確認します。

$\sin x$ のテイラー展開は、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ であるので、

$$x - \sin x = \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

となり、$x \to 0$ で $x - \sin x \to 0$ となります。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ なので、$x$ と $\sin x$ の間にある $c$ も $c \to 0$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \lim_{c \to 0} \cos c = \cos 0 = 1$$

3. 最終的な答え

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