与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 (1) 数列: $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \dots, \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ (2) 数列: $\frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

(1) 数列: $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \dots, \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

(2) 数列: $\frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)} = \frac{C}{n} + \frac{D}{n+1} + \frac{E}{n+2}$のように分解することを考えます。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

または

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)$

これを利用して和を計算します。

$S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) - 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n + 2 - 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+2}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n} - \sqrt{n+2})} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+2}}{n - (n+2)} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+2}}{-2} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}$

$S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+2}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

$= \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})]$

$= \frac{1}{2} (-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2})$

$= \frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $S = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}}{2}$