平均値の定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$ を求める問題です。また、$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$ となる理由について問われています。ここで$c$ はある実数です。

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$ を求める問題です。また、$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$ となる理由について問われています。ここで$c$ はある実数です。

2. 解き方の手順

まず、平均値の定理を適用することを考えます。関数 $f(x) = \sin x$ を考えます。ここで、$x$ と $\sin x$ を考えます。平均値の定理より、ある $c$ が $x$ と $\sin x$ の間に存在して、

$\frac{f(x) - f(\sin x)}{x - \sin x} = f'(c)$

が成り立ちます。ここで、$f(x) = \sin x$ なので、$f'(x) = \cos x$ です。したがって、

$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$

となります。

次に、極限を求めることを考えます。$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ です。したがって、$c$ は $x$ と $\sin x$ の間に存在するので、$x \to 0$ のとき、$c \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \lim_{c \to 0} \cos c = \cos 0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = 1$