問題は2つの数列の和 $S$ を求める問題です。 (1) $ \frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \dots, \frac{1}{n(n+1)(n+2)} $ (2) $ \frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} $

1. 問題の内容

問題は2つの数列の和 $S$ を求める問題です。

(1) $\frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \dots, \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)}$ と置くこともできますが、

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$ と分解する方が計算が楽です。

したがって、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{2\cdot3} \right) + \left( \frac{1}{2\cdot3} - \frac{1}{3\cdot4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{(n+1)(n+2) - 2}{2(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+2}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2}+\sqrt{k})(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{k+2-k} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}$

したがって、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k})$

$= \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{4}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ -\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} \right] = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - \sqrt{2} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $S = \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}-\sqrt{2}-1}{2}$