関数 $y = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$ を因数分解して、$x$ 軸との交点を求めます。

$y = 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = x^2(2x-1) - (2x - 1) = (x^2 - 1)(2x - 1) = (x - 1)(x + 1)(2x - 1)$

したがって、$x$ 軸との交点は、$x = -1, \frac{1}{2}, 1$ です。

$x$ 軸とグラフで囲まれた面積は、$x = -1$ から $x = \frac{1}{2}$ までの積分と、$x = \frac{1}{2}$ から $x = 1$ までの積分の絶対値の和になります。

まず、$x = -1$ から $x = \frac{1}{2}$ までの積分を計算します。

$\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (2x^3 - x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{3} x^3 - x^2 + x \right]_{-1}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} (\frac{1}{16}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) - 1 - 1 \right) = \left(\frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right) = \frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{3 - 4 - 24 - 32}{96} + 2 = \frac{-57}{96} + 2 = \frac{-19}{32} + 2 = \frac{-19 + 64}{32} = \frac{45}{32}$

次に、$x = \frac{1}{2}$ から $x = 1$ までの積分を計算します。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x^3 - x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{3} x^3 - x^2 + x \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} (\frac{1}{16}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{32} + \frac{1}{24} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{16 - 3 + 4 + 24 - 48}{96} = \frac{-7}{96} = -\frac{7}{96}$

したがって、面積は $\frac{45}{32} + \left| -\frac{7}{96} \right| = \frac{45}{32} + \frac{7}{96} = \frac{135 + 7}{96} = \frac{142}{96} = \frac{71}{48}$

3. 最終的な答え

$\frac{71}{48}$