$x+y, y+z, z+x$ はすべて 0 ではないとき、$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$ である。このとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x+y, y+z, z+x$ はすべて 0 ではないとき、$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$ である。このとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7} = k$ とおく ($k \neq 0$)。

すると、

$x+y = 2k$

$y+z = 5k$

$z+x = 7k$

これらをすべて足し合わせると、

$2(x+y+z) = 14k$

$x+y+z = 7k$

ここで、$x+y+z=7k$ から、$x+y=2k$, $y+z=5k$, $z+x=7k$ をそれぞれ引くと、

$z = (x+y+z)-(x+y) = 7k - 2k = 5k$

$x = (x+y+z)-(y+z) = 7k - 5k = 2k$

$y = (x+y+z)-(z+x) = 7k - 7k = 0$

よって、$x=2k$, $y=0$, $z=5k$ である。

したがって、

$xy+yz+zx = (2k)(0) + (0)(5k) + (5k)(2k) = 0 + 0 + 10k^2 = 10k^2$

$x^2+y^2+z^2 = (2k)^2 + (0)^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 0 + 25k^2 = 29k^2$

求める値は、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{10k^2}{29k^2} = \frac{10}{29}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{29}$