与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、行列式の値、余因子行列、逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、行列式の値、余因子行列、逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算:

行列式 $det(A)$ を計算する。

$det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) - 4 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + (-3) \cdot (2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1))$

$det(A) = 1 \cdot (4 + 3) - 4 \cdot (4 + 1) - 3 \cdot (-6 + 2)$

$det(A) = 1 \cdot 7 - 4 \cdot 5 - 3 \cdot (-4)$

$det(A) = 7 - 20 + 12$

$det(A) = -1$

(2) 余因子行列の計算:

余因子行列 $C$ を計算する。各成分 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものである。

$C_{11} = (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) = 4 + 3 = 7$

$C_{12} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -(4 + 1) = -5$

$C_{13} = (2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1)) = -6 + 2 = -4$

$C_{21} = -(4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3)) = -(8 - 9) = 1$

$C_{22} = (1 \cdot 2 - (-3) \cdot (-1)) = 2 - 3 = -1$

$C_{23} = -(1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1)) = -(-3 + 4) = -1$

$C_{31} = (4 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) = 4 + 6 = 10$

$C_{32} = -(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) = -(1 + 6) = -7$

$C_{33} = (1 \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 2 - 8 = -6$

$C = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

(3) 転置行列の計算:

余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算する。

$C^T = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix}$

(4) 逆行列の計算:

逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T$ で与えられる。

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列式: $det(A) = -1$

余因子行列: $C = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

逆行列: $A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$