$x > 1$ のとき、関数 $x + \frac{2}{x-1}$ の最小値と、最小値をとる $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、関数 $x + \frac{2}{x-1}$ の最小値と、最小値をとる $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ とおくと、$x = t+1$ であり、$x > 1$ より、$t > 0$ となる。

与えられた関数は、

$$x + \frac{2}{x-1} = t+1 + \frac{2}{t} = t + \frac{2}{t} + 1$$

と書き換えられる。

ここで、相加相乗平均の不等式を用いる。

$t > 0$ であり、$\frac{2}{t} > 0$ であるから、

$$t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$$

が成り立つ。

したがって、

$$t + \frac{2}{t} + 1 \geq 2\sqrt{2} + 1$$

等号が成立するのは、$t = \frac{2}{t}$ のときである。

$t^2 = 2$ より、$t = \sqrt{2}$ （$t > 0$ より）

このとき、$x = t+1 = \sqrt{2} + 1$ である。

したがって、関数 $x + \frac{2}{x-1}$ は、$x = \sqrt{2} + 1$ のとき、最小値 $2\sqrt{2} + 1$ をとる。

3. 最終的な答え

最小値: $2\sqrt{2} + 1$

最小値をとる $x$ の値: $\sqrt{2} + 1$