与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1/6 & 5/6 \end{bmatrix}$ に対して以下の問題を解く。 (1) $A$ の固有値を絶対値の小さい順に $\lambda_1, \lambda_2$ とする。また、$\lambda_1, \lambda_2$ に対応する固有ベクトルを $v_1, v_2$ とする。$\lambda_1, \lambda_2$ および $v_1, v_2$ を求めよ。 (2) $k$ を $0$ 以上の整数とする。$A^k$ を $(1)$ の $\lambda_1, \lambda_2$ および $2 \times 2$ 行列 $B, C$ を用いて $A^k = (\lambda_1)^k B + (\lambda_2)^k C$ の形に表す。$B, C$ を求めよ。 (3) $S_n$ を $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} A^k$ と定義する。 $n \to \infty$ のとき、$S_n$ はある $2 \times 2$ 行列に収束する。$\lim_{n \to \infty} S_n = S$ とするとき、$S$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1/6 & 5/6 \end{bmatrix}$ に対して以下の問題を解く。

(1) $A$ の固有値を絶対値の小さい順に $\lambda_1, \lambda_2$ とする。また、$\lambda_1, \lambda_2$ に対応する固有ベクトルを $v_1, v_2$ とする。$\lambda_1, \lambda_2$ および $v_1, v_2$ を求めよ。

(2) $k$ を $0$ 以上の整数とする。$A^k$ を $(1)$ の $\lambda_1, \lambda_2$ および $2 \times 2$ 行列 $B, C$ を用いて $A^k = (\lambda_1)^k B + (\lambda_2)^k C$ の形に表す。$B, C$ を求めよ。

(3) $S_n$ を $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} A^k$ と定義する。 $n \to \infty$ のとき、$S_n$ はある $2 \times 2$ 行列に収束する。$\lim_{n \to \infty} S_n = S$ とするとき、$S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値 $\lambda$ を求める。

固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ である。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -1/6 & 5/6 - \lambda \end{bmatrix}$ より、

$\det(A - \lambda I) = -\lambda(5/6 - \lambda) - (1)(-1/6) = \lambda^2 - \frac{5}{6}\lambda + \frac{1}{6} = 0$

これを解くと、

$\lambda = \frac{\frac{5}{6} \pm \sqrt{(\frac{5}{6})^2 - 4(\frac{1}{6})}}{2} = \frac{\frac{5}{6} \pm \sqrt{\frac{25}{36} - \frac{24}{36}}}{2} = \frac{\frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}}{2}$

$\lambda_1 = \frac{4/6}{2} = \frac{1}{3}, \lambda_2 = \frac{6/6}{2} = \frac{1}{2}$

絶対値の小さい順に $\lambda_1 = \frac{1}{3}, \lambda_2 = \frac{1}{2}$

次に固有ベクトル $v_1, v_2$ を求める。

$\lambda_1 = \frac{1}{3}$ に対して、$(A - \frac{1}{3}I)v_1 = 0$

$A - \frac{1}{3}I = \begin{bmatrix} -1/3 & 1 \\ -1/6 & 5/6 - 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 1 \\ -1/6 & 1/2 \end{bmatrix}$

$-\frac{1}{3}x + y = 0 \implies y = \frac{1}{3}x$

$v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = \frac{1}{2}$ に対して、$(A - \frac{1}{2}I)v_2 = 0$

$A - \frac{1}{2}I = \begin{bmatrix} -1/2 & 1 \\ -1/6 & 5/6 - 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 1 \\ -1/6 & 1/3 \end{bmatrix}$

$-\frac{1}{2}x + y = 0 \implies y = \frac{1}{2}x$

$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $A^k = (\frac{1}{3})^k B + (\frac{1}{2})^k C$

$k = 0: A^0 = I = B + C$

$k = 1: A = \frac{1}{3}B + \frac{1}{2}C$

$B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$ とすると、

$a + e = 1, b + f = 0, c + g = 0, d + h = 1$

$\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}e = 0, \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}f = 1, \frac{1}{3}c + \frac{1}{2}g = -1/6, \frac{1}{3}d + \frac{1}{2}h = 5/6$

$e = 1-a, f = -b, g = -c, h = 1-d$ より、

$\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}(1-a) = 0 \implies 2a + 3 - 3a = 0 \implies a = 3, e = -2$

$\frac{1}{3}b - \frac{1}{2}b = 1 \implies 2b - 3b = 6 \implies b = -6, f = 6$

$\frac{1}{3}c - \frac{1}{2}c = -1/6 \implies 2c - 3c = -1 \implies c = 1, g = -1$

$\frac{1}{3}d + \frac{1}{2}(1-d) = 5/6 \implies 2d + 3 - 3d = 5 \implies d = -2, h = 3$

$B = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

(3) $S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} A^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} ((\frac{1}{3})^k B + (\frac{1}{2})^k C)$

$S = \lim_{n \to \infty} B\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k + C\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{2})^k$

$\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{2})^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$S = \frac{3}{2}B + 2C = \frac{3}{2}\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} - 4 & -9 + 12 \\ \frac{3}{2} - 2 & -3 + 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 3 \\ -1/2 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\lambda_1 = \frac{1}{3}, \lambda_2 = \frac{1}{2}, v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $B = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

(3) $S = \begin{bmatrix} 1/2 & 3 \\ -1/2 & 3 \end{bmatrix}$