与えられた対数の式 $\log_{2}12 - \log_{4}18 + \frac{1}{2}\log_{2}8$ を計算し、簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_{2}12 - \log_{4}18 + \frac{1}{2}\log_{2}8$ を計算し、簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底をすべて2に統一します。$\log_{4}18$ について、底の変換公式 $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ を用います。

$\log_{4}18 = \frac{\log_{2}18}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}18}{2}$

次に、$\frac{1}{2}\log_{2}8$ を計算します。対数の性質 $a\log_{b}c = \log_{b}c^a$ を用います。

$\frac{1}{2}\log_{2}8 = \log_{2}8^{\frac{1}{2}} = \log_{2}\sqrt{8} = \log_{2}2\sqrt{2}$

与えられた式にこれらを代入します。

$\log_{2}12 - \frac{\log_{2}18}{2} + \log_{2}2\sqrt{2}$

対数の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ と $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$ を使って式をまとめます。まずは $\log_{2}12 + \log_{2}2\sqrt{2}$ を計算します。

$\log_{2}12 + \log_{2}2\sqrt{2} = \log_{2}(12 \times 2\sqrt{2}) = \log_{2}24\sqrt{2}$

次に$\frac{\log_{2}18}{2} = \log_{2}18^{\frac{1}{2}} = \log_{2}\sqrt{18} = \log_{2}3\sqrt{2}$

したがって

$\log_{2}24\sqrt{2} - \log_{2}3\sqrt{2} = \log_{2}\frac{24\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \log_{2}8 = \log_{2}2^3 = 3$

3. 最終的な答え

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