与えられた多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、積分 $\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求める問題です。具体的には、積分 $\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分することで求められます。

基本的な積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$, $C$は積分定数）を利用します。

- $\int -10x^4 \, dx = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5$

- $\int -12x^3 \, dx = -12 \cdot \frac{x^4}{4} = -3x^4$

- $\int 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3}x^3$

- $\int 7x \, dx = 7 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{7}{2}x^2$

- $\int -1 \, dx = -x$

これらの結果を足し合わせると、不定積分は次のようになります。

$$$$

\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) \, dx = -2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C

$$$$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C$