関数 $f(x) = \ln(1+x)$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ を求めます。 (2) $n$次導関数 $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ となることを数学的帰納法で示します。 (3) $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(n-1)}(0)$ の値をそれぞれ求めます。 (4) マクローリンの定理 $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) に(2), (3)の結果を代入し、$\ln(1+x)$ にマクローリンの定理を適用した結果を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \ln(1+x)$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ を求めます。

(2) $n$次導関数 $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ となることを数学的帰納法で示します。

(3) $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(n-1)}(0)$ の値をそれぞれ求めます。

(4) マクローリンの定理

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$)

に(2), (3)の結果を代入し、$\ln(1+x)$ にマクローリンの定理を適用した結果を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 導関数の計算

$f(x) = \ln(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f''(x) = -(1+x)^{-2}$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

(2) 数学的帰納法による証明

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ を数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{(-1)^{1-1}(1-1)!}{(1+x)^1} = \frac{1}{(1+x)}$ となり成立。

(ii) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k} \right)$

$= (-1)^{k-1}(k-1)! \frac{d}{dx} (1+x)^{-k}$

$= (-1)^{k-1}(k-1)! (-k)(1+x)^{-k-1}$

$= (-1)^k k! (1+x)^{-(k+1)}$

$= \frac{(-1)^{(k+1)-1}((k+1)-1)!}{(1+x)^{k+1}}$

よって、$n=k+1$ のときも成立。

(3) $x=0$ における導関数の値

$f(0) = \ln(1+0) = \ln(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

$f^{(n-1)}(0) = \frac{(-1)^{(n-1)-1}((n-1)-1)!}{(1+0)^{n-1}} = (-1)^{n-2}(n-2)!$

(4) マクローリンの定理の適用

$f(x) = \ln(1+x)$ にマクローリンの定理を適用する。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n$

$= 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \dots + \frac{(-1)^{n-2}(n-2)!}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+\theta x)^n n!}x^n$

$= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots + \frac{(-1)^{n-2}}{n-1}x^{n-1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^n}x^n$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{1+x}$, $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

(2) 省略

(3) $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = -1$, $f'''(0) = 2$, $f^{(n-1)}(0) = (-1)^{n-2}(n-2)!$

(4) $\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots + \frac{(-1)^{n-2}}{n-1}x^{n-1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^n}x^n$