$\int \sin^6 x \sin(2x) dx = \int \sin^6 x (2 \sin x \cos x) dx = 2 \int \sin^7 x \cos x dx$

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1. 問題の内容

次の5つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin^6 x \sin(2x) dx$

(2) $\int \tan^2 x dx$

(3) $\int \frac{dx}{\sin x \cos x}$

(4) $\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx$

(5) $\int \frac{dx}{\cosh x}$

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2. 解き方の手順

### (1) $\int \sin^6 x \sin(2x) dx$

1. $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ を用いて、積分を書き換えます。

$\int \sin^6 x \sin(2x) dx = \int \sin^6 x (2 \sin x \cos x) dx = 2 \int \sin^7 x \cos x dx$

2. 置換積分を行います。$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

$2 \int \sin^7 x \cos x dx = 2 \int u^7 du$

3. 積分を実行します。

$2 \int u^7 du = 2 \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{u^8}{4} + C$

4. $u = \sin x$ を代入して、結果を $x$ で表します。

$\frac{u^8}{4} + C = \frac{\sin^8 x}{4} + C$

### (2) $\int \tan^2 x dx$

1. $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用いて、積分を書き換えます。

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx$

2. 積分を実行します。$\int \sec^2 x dx = \tan x$ であることを利用します。

$\int (\sec^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx = \tan x - x + C$

### (3) $\int \frac{dx}{\sin x \cos x}$

1. $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$ を用いて、積分を書き換えます。

$\int \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int \frac{dx}{\frac{1}{2} \sin(2x)} = 2 \int \frac{dx}{\sin(2x)}$

2. 倍角の公式を用いて $\int \frac{dx}{\sin(2x)} = \int \csc(2x)dx$ と書き換えます。

3. $u = 2x$ と置換すると $du = 2dx$, つまり $dx = \frac{1}{2}du$. よって

$\int \csc(2x)dx = \frac{1}{2}\int \csc(u)du$

4. $\int \csc(u)du = - \ln |\csc(u) + \cot(u)| + C$

5. $\frac{1}{2} (- \ln |\csc(2x) + \cot(2x)|) * 2 = - \ln |\csc(2x) + \cot(2x)| + C$

6. 別の解法として、

$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \tan x + \cot x$

$\int (\tan x + \cot x)dx = \int \tan x dx + \int \cot x dx = - \ln |\cos x| + \ln |\sin x| + C = \ln |\frac{\sin x}{\cos x}| + C = \ln |\tan x| + C$

### (4) $\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx$

1. 分母の次数よりも分子の次数が高いので、多項式を割ります。

$\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} = 1 + \frac{2x - 1}{x^2 + 3}$

2. 積分を分割します。

$\int \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 3} dx = \int (1 + \frac{2x - 1}{x^2 + 3}) dx = \int 1 dx + \int \frac{2x}{x^2 + 3} dx - \int \frac{1}{x^2 + 3} dx$

3. それぞれの積分を実行します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \frac{2x}{x^2 + 3} dx = \int \frac{(x^2 + 3)'}{x^2 + 3} dx = \ln(x^2 + 3) + C_2$

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C_3$

4. 結果をまとめます。

$x + \ln(x^2 + 3) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

### (5) $\int \frac{dx}{\cosh x}$

1. $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ を用いて、積分を書き換えます。

$\int \frac{dx}{\cosh x} = \int \frac{dx}{\frac{e^x + e^{-x}}{2}} = 2 \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = 2 \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

2. 置換積分を行います。$u = e^x$ と置くと、$du = e^x dx$ となります。

$2 \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx = 2 \int \frac{du}{u^2 + 1}$

3. 積分を実行します。

$2 \int \frac{du}{u^2 + 1} = 2 \arctan(u) + C$

4. $u = e^x$ を代入して、結果を $x$ で表します。

$2 \arctan(e^x) + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sin^8 x}{4} + C$

(2) $\tan x - x + C$

(3) $\ln |\tan x| + C$

(4) $x + \ln(x^2 + 3) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

(5) $2 \arctan(e^x) + C$