関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ (ただし、$x > 0$) について、以下の問題を解く。 (1) $\lim_{x \to +0} f(x)$ を求める。 (2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。 (3) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (4) $f(x)$ の極大値（最大値）を求め、$f(x)$ のグラフの概形を描く。増減表を利用する。 (5) $1 < e < \pi$ であることを利用して、$\pi^e$ と $e^\pi$ の大小を判定する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ (ただし、$x > 0$) について、以下の問題を解く。

(1) $\lim_{x \to +0} f(x)$ を求める。

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。

(3) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(4) $f(x)$ の極大値（最大値）を求め、$f(x)$ のグラフの概形を描く。増減表を利用する。

(5) $1 < e < \pi$ であることを利用して、$\pi^e$ と $e^\pi$ の大小を判定する。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} f(x)$ について

$x \to +0$ のとき、$\ln x \to -\infty$ であり、$x \to +0$ である。したがって、$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{x} = -\infty$ となる。

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ について

$x \to \infty$ のとき、$\ln x \to \infty$ であり、$x \to \infty$ である。したがって、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形となるため、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

(3) 導関数 $f'(x)$ について

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ であるから、商の微分法を用いて、

$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(4) $f(x)$ の極大値とグラフの概形について

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \ln x = 0$ のとき、すなわち $\ln x = 1$ より $x = e$ のときである。

$f'(x) > 0$ となるのは $1 - \ln x > 0$、すなわち $\ln x < 1$ より $x < e$ のときである。

$f'(x) < 0$ となるのは $1 - \ln x < 0$、すなわち $\ln x > 1$ より $x > e$ のときである。

したがって、$x = e$ のとき、$f(x)$ は極大値（最大値）をとる。その値は、$f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$ である。

増減表は以下のようになる。

| x | 0 < ... < e | e | e < ... | ∞ |

| :--- | :---------- | :------- | :------ | :------- |

| f'(x) | + | 0 | - | |

| f(x) | 増加 | 1/e (極大) | 減少 | 0 |

グラフの概形は、$x \to +0$ で $-\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で 0 に収束し、$x = e$ で最大値 $1/e$ をとる。

(5) $\pi^e$ と $e^\pi$ の大小について

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ の最大値が $f(e) = \frac{1}{e}$ であることを利用する。$e < \pi$ より、

$f(e) > f(\pi)$ が成り立つ。すなわち、$\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi}$ となる。

両辺に $e\pi$ を掛けると、$\pi \ln e > e \ln \pi$ となる。

これは $\ln e^\pi > \ln \pi^e$ を意味する。対数関数は単調増加であるから、$e^\pi > \pi^e$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +0} f(x) = -\infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

(3) $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(4) 極大値（最大値）：$f(e) = \frac{1}{e}$

(5) $e^\pi > \pi^e$