与えられた級数の極限値を求める問題です。具体的には、以下の級数の$n \to \infty$における極限を計算します。 $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(4k+3n)^2} $$

1. 問題の内容

与えられた級数の極限値を求める問題です。具体的には、以下の級数の$n \to \infty$における極限を計算します。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(4k+3n)^2}$$

2. 解き方の手順

与えられた級数を区分求積法を用いて定積分に変換し、極限値を求めます。

ステップ1: 和の形を整える

まず、和の式を以下のように変形します。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(4k+3n)^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2(4\frac{k}{n}+3)^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(4\frac{k}{n}+3)^2}$$

ステップ2: 区分求積法を適用

$n \to \infty$ のとき、この和は以下の定積分に収束します。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(4\frac{k}{n}+3)^2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(4x+3)^2} dx$$

ステップ3: 定積分を計算

この定積分を計算します。$u = 4x+3$ と置換すると、$du = 4dx$ より、$dx = \frac{1}{4}du$ となります。積分範囲は $x=0$ のとき $u=3$, $x=1$ のとき $u=7$ となります。よって、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{(4x+3)^2} dx = \int_{3}^{7} \frac{1}{u^2} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int_{3}^{7} u^{-2} du$$

$$= \frac{1}{4} [-u^{-1}]_{3}^{7} = \frac{1}{4} \left[-\frac{1}{u}\right]_{3}^{7} = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{7} + \frac{1}{3}\right)$$

$$= \frac{1}{4} \left(\frac{-3+7}{21}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{4}{21}\right) = \frac{1}{21}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{21}$$