放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線と $x$ 軸の交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることになります。

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1, 3$ が交点の $x$ 座標です。

次に、定積分を用いて面積を求めます。放物線が $x$ 軸より下にある区間で積分を行う必要があるため、$y = x^2 - 4x + 3$ の符号を確認します。$x=1$と$x=3$の間では$y$は負の値を取ります。

したがって、求める面積 $S$ は、以下の定積分の絶対値で表されます。

$S = \left| \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx \right|$

積分を実行します。

$\int (x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3}$

$= \left( \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) \right)$

$= (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3)$

$= 0 - (\frac{1}{3} + 1)$

$= -\frac{4}{3}$

面積は負の値を取らないので、絶対値を取ります。

$S = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$