与えられた式 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

この式は、展開して整理することで、$a^3+b^3+c^3-3abc$ の形になることを利用して解くことができます。展開していくと以下のようになります。

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - ca^2 + a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc + a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2$

$= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$