$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、不等式 $2\cos^2\theta - 3\sin\theta < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、不等式 $2\cos^2\theta - 3\sin\theta < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。三角関数の基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ です。

これを不等式に代入すると、

$$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta < 0$$

$$2 - 2\sin^2\theta - 3\sin\theta < 0$$

$$2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 > 0$$

ここで、$\sin\theta = t$ とおくと、$0 \le \theta \le 180^\circ$ より、$0 \le t \le 1$ となります。

$$2t^2 + 3t - 2 > 0$$

この2次不等式を解きます。

$$2t^2 + 3t - 2 = (2t - 1)(t + 2)$$

したがって、$(2t - 1)(t + 2) > 0$ です。

$t < -2$ または $t > \frac{1}{2}$ が解となります。

$0 \le t \le 1$ であるので、$t > \frac{1}{2}$ のみが解となります。

つまり、$\sin\theta > \frac{1}{2}$ です。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 30^\circ$ と $\theta = 150^\circ$ です。

$\sin\theta > \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$30^\circ < \theta < 150^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$30^\circ < \theta < 150^\circ$