与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の2次式の部分 $6x^2 + 7xy + 2y^2$ を因数分解することを試みます。

$6x^2 + 7xy + 2y^2$ を $(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解すると考えます。

$ac = 6$ と $bd = 2$ および $ad + bc = 7$ を満たす $a, b, c, d$ を見つけます。

$a = 2$, $c = 3$, $b = 1$, $d = 2$ とすると、$ac = 6$, $bd = 2$, $ad + bc = 2(2) + 1(3) = 4 + 3 = 7$ となり条件を満たします。

したがって、$6x^2 + 7xy + 2y^2 = (2x + y)(3x + 2y)$ と因数分解できます。

元の式は $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x + y)(3x + 2y) + x - 2$ です。

$(2x+y+a)(3x+2y+b)$ とおいて展開すると

$6x^2 + 4xy + 3xy + 2y^2 + 3bx + 2ax + by + ay + ab$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (2a+3b)x + (a+b)y + ab$

$2a+3b=1$

$a+b=0$

$ab = -2$

$a = -b$

$-2b + 3b = 1$

$b = 1$, $a=-1$

$ab = -1 \neq -2$

もう一度元の式を見直すと、

$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

定数項が-2であることから、

$(2x+y+c)(3x+2y+d)$

の $cd = -2$ となります。

$c=1, d=-2$ のときを試してみると、

$(2x+y+1)(3x+2y-2) = 6x^2+4xy-4x+3xy+2y^2-2y+3x+2y-2 = 6x^2+7xy+2y^2 -x-2$ となり、$x$ の符号が合いません。

$c=-1, d=2$ のときを試してみると、

$(2x+y-1)(3x+2y+2) = 6x^2+4xy+4x+3xy+2y^2+2y-3x-2y-2 = 6x^2+7xy+2y^2+x-2$ となり、与式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(3x+2y+2)$