周囲1800mの池があり、A君とB君がジョギングをする。 (1) 同じ地点から反対向きに出発すると4分後に出会う。また、A君が出発して4分後にB君がA君を追いかけると、B君は出発から8分後にA君に追いつく。A君の速さを毎分 $x$ m、B君の速さを毎分 $y$ mとして、これらの条件から $x$ と $y$ の方程式をそれぞれ立てる。 (2) (1)で立てた方程式を解いて、A君とB君の速さ $x$ と $y$ を求める。 (3) A君とB君が同じ地点から同時に反対向きに出発するとき、出発地点で初めて出会うのが何分後か、またそれは何回目の出会いかを求める。

1. 問題の内容

周囲1800mの池があり、A君とB君がジョギングをする。

(1) 同じ地点から反対向きに出発すると4分後に出会う。また、A君が出発して4分後にB君がA君を追いかけると、B君は出発から8分後にA君に追いつく。A君の速さを毎分 $x$ m、B君の速さを毎分 $y$ mとして、これらの条件から $x$ と $y$ の方程式をそれぞれ立てる。

(2) (1)で立てた方程式を解いて、A君とB君の速さ $x$ と $y$ を求める。

(3) A君とB君が同じ地点から同時に反対向きに出発するとき、出発地点で初めて出会うのが何分後か、またそれは何回目の出会いかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

① 反対向きに出発して4分後に出会うので、

$4x + 4y = 1800$

② A君が出発して4分後にB君が出発し、B君が出発してから8分後に追いつくので、B君は出発から8分でA君に追いつく。A君は合計12分走っている。

$12x = 8y$

(2)

①と②の方程式を解く。

$4x + 4y = 1800$ より、

$x + y = 450$

$x = 450 - y$

$12x = 8y$ より、

$3x = 2y$

$x = \frac{2}{3}y$

$450 - y = \frac{2}{3}y$

$450 = \frac{5}{3}y$

$y = 450 \times \frac{3}{5} = 90 \times 3 = 270$

$x = 450 - 270 = 180$

よって、A君の速さは毎分180m、B君の速さは毎分270m

(3)

A君とB君が反対向きに出発するとき、初めて出会うのは1周分走ったときなので、

$t$ 分後に出会うとすると、

$180t + 270t = 1800$

$450t = 1800$

$t = \frac{1800}{450} = 4$

2回目に出会うのは2周分走ったとき、3回目に出会うのは3周分走ったときなので、出発地点で出会うのは池の周の長さの公倍数でなければならない。

A君は毎分180m、B君は毎分270mなので、A君が1周するのに $1800/180 = 10$ 分、B君が1周するのに $1800/270 = 20/3$ 分かかる。

2人の速さの比は $180:270 = 2:3$。

出発地点で初めて出会うのは、A君が3周、B君が2周したとき。

A君が3周するのに $10 \times 3 = 30$ 分、B君が2周するのに $(20/3) \times 2 = 40/3$ 分かかる。

これは正しくない。

A君とB君は4分後に出会う。2回目に出会うのは8分後、3回目に出会うのは12分後、4回目に出会うのは16分後、...

A君は10分で1周、B君は20/3分で1周するので、A君が3周するとB君が2周する。このとき30分経過。

2人が出発地点で出会うのは30分後。これは、7回目の出会い。

3. 最終的な答え

(1) ① $4x + 4y = 1800$ ② $12x = 8y$

(2) A君の速さ: 毎分180m、B君の速さ: 毎分270m

(3) 30分後、7回目