2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルを利用して、2つの平面のなす角を求めます。

ステップ1: 各平面の法線ベクトルを求める。

平面 $ax + by + cz + d = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (a, b, c)$ で表されます。

平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_1}$ は、

$\vec{n_1} = (1, -1, 2)$

平面 $y - z + 2 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_2}$ は、

$\vec{n_2} = (0, 1, -1)$

ステップ2: 2つの法線ベクトルの内積を計算する。

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (2)(-1) = 0 - 1 - 2 = -3$

ステップ3: 各法線ベクトルの大きさを計算する。

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

ステップ4: 2つのベクトルがなす角 $\theta$ の余弦を計算する。

$\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ5: 角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ または $150^\circ$

平面のなす角は通常、鋭角で表すので、180° - 150° = 30°となる.

別解として、なす角を $\theta$ とすると、$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5}{6}\pi$. また、$\pi - \theta = \pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{\pi}{6}$. よってなす角は $\frac{\pi}{6}$.

角度で答える場合、

$180 - 150 = 30$度.

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$ (ラジアン) または $30^\circ$