座標平面上の原点O、直線 $y = \sqrt{3}x$ ($0 \le x \le 2$)上の点P、直線 $y = -\sqrt{3}x$ ($-3 \le x \le 0$)上の点Qがあり、$OP + OQ = 6$を満たしながら動く。線分PQが通過する領域をDとする。 (1) $-3 \le s \le 2$を満たす実数$s$に対して、点$(s, t)$がDに入るような$t$の範囲を求める。 (2) 領域Dを図示する。

1. 問題の内容

座標平面上の原点O、直線 $y = \sqrt{3}x$ ($0 \le x \le 2$)上の点P、直線 $y = -\sqrt{3}x$ ($-3 \le x \le 0$)上の点Qがあり、$OP + OQ = 6$を満たしながら動く。線分PQが通過する領域をDとする。

(1) $-3 \le s \le 2$を満たす実数$s$に対して、点$(s, t)$がDに入るような$t$の範囲を求める。

(2) 領域Dを図示する。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を$(p, \sqrt{3}p)$ ($0 \le p \le 2$)、点Qの座標を$(q, -\sqrt{3}q)$ ($-3 \le q \le 0$)とする。

$OP = \sqrt{p^2 + 3p^2} = \sqrt{4p^2} = 2p$

$OQ = \sqrt{q^2 + 3q^2} = \sqrt{4q^2} = -2q$ (∵ $q \le 0$)

$OP + OQ = 6$より、$2p - 2q = 6$、つまり$p - q = 3$。よって、$p = q + 3$。

$0 \le p \le 2$なので、$0 \le q + 3 \le 2$。よって、$-3 \le q \le -1$。

線分PQの方程式を求める。

P$(q+3, \sqrt{3}(q+3))$、Q$(q, -\sqrt{3}q)$を通る直線の方程式は、傾き$\frac{\sqrt{3}(q+3) + \sqrt{3}q}{q+3-q} = \frac{2\sqrt{3}q + 3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)$

よって、

$y + \sqrt{3}q = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)(x-q)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)x - \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)q - \sqrt{3}q$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)x - \frac{\sqrt{3}}{3}(2q^2 + 3q) - \sqrt{3}q$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)x - \frac{\sqrt{3}}{3}(2q^2 + 6q)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(2q+3)x - \frac{2\sqrt{3}}{3}(q^2 + 3q)$

$2q$について解くために$q$に関する二次方程式を立てる。

$\frac{2\sqrt{3}}{3}q^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 2\sqrt{3})q + \frac{\sqrt{3}}{3}3x + y = 0$

$\frac{2\sqrt{3}}{3}q^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}(x + 3)q + \sqrt{3}x/ \sqrt{3} + y = 0$

$2q^2 + 2(x+3)q + 3x + \sqrt{3}y = 0$

$q^2 + (x+3)q + \frac{3x + \sqrt{3}y}{2} = 0$

$q$が実数解を持つためには、判別式$D \ge 0$

$D = (x+3)^2 - 4(\frac{3x + \sqrt{3}y}{2}) = (x+3)^2 - 2(3x + \sqrt{3}y) \ge 0$

$x^2 + 6x + 9 - 6x - 2\sqrt{3}y \ge 0$

$x^2 + 9 \ge 2\sqrt{3}y$

$y \le \frac{x^2 + 9}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(x^2+9)}{6}$

$-3 \le q \le -1$ より、

$q = -3$のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(-6+3)x - \frac{2\sqrt{3}}{3}(9 - 9) = -\sqrt{3}x$

$q = -1$のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(-2+3)x - \frac{2\sqrt{3}}{3}(1 - 3) = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

よって、$-\sqrt{3}x \le y \le \frac{\sqrt{3}(x^2+9)}{6}$ かつ $y \le \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$。

(1) sを-3≤s≤2を満たす実数とするとき、点(s, t)がDに入るようなtの範囲を求めよ。

上記の式に$x=s$として、$t$の範囲を求める。

$-\sqrt{3}s \le t \le \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9)$

また、$-3 \le s \le 0$のとき、$t \le \frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$0 \le s \le 2$のとき、制約はない。

(2) Dを図示せよ。

$y = \frac{\sqrt{3}(x^2+9)}{6}$、 $y = -\sqrt{3}x$、 および $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$ で囲まれた領域。

ただし、$-3 \le x \le 2$。

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{3}s \le t \le \frac{\sqrt{3}(s^2+9)}{6}$。$-3 \le s \le 0$のとき、$t \le \frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) 領域Dは、$y = \frac{\sqrt{3}(x^2+9)}{6}$、$y = -\sqrt{3}x$、および$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$で囲まれた領域。ただし、$-3 \le x \le 2$。