円 $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$ ...(1) と直線 $y=3$ ...(2) について、以下の問いに答える問題です。 (1) 円(1)の中心の座標を求めます。 (2) 円(1)と直線(2)の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めます。ただし、2つの交点のうち、x座標の小さい方をAとします。 (3) (2)において、点Aにおける円(1)の接線と点Bにおける円(1)の接線の交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$ ...(1) と直線 $y=3$ ...(2) について、以下の問いに答える問題です。

(1) 円(1)の中心の座標を求めます。

(2) 円(1)と直線(2)の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めます。ただし、2つの交点のうち、x座標の小さい方をAとします。

(3) (2)において、点Aにおける円(1)の接線と点Bにおける円(1)の接線の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円(1)の式を平方完成します。

$x^2 - 4x + y^2 + 2y - 20 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 20 - 4 - 1 = 0$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25 = 5^2$

よって、円(1)の中心の座標は(2,-1)です。

(2) 円(1)と直線(2)の交点を求めます。

$y=3$ を $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$ に代入します。

$x^2 + 3^2 - 4x + 2(3) - 20 = 0$

$x^2 - 4x + 9 + 6 - 20 = 0$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x-5)(x+1) = 0$

$x = 5, -1$

交点はA(-1,3), B(5,3)です。

$AB = \sqrt{(5-(-1))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

よって、AB=6です。

(3) 点A(-1,3)における円(1)の接線を求めます。

円の方程式は $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ なので、中心(2,-1)と点A(-1,3)を結ぶ直線の傾きは $\frac{3-(-1)}{-1-2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

点Aにおける接線の傾きは $\frac{3}{4}$ となり、接線の方程式は

$y-3 = \frac{3}{4}(x-(-1))$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + 3$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$

点B(5,3)における円(1)の接線を求めます。

円の中心(2,-1)と点B(5,3)を結ぶ直線の傾きは $\frac{3-(-1)}{5-2} = \frac{4}{3}$

点Bにおける接線の傾きは $-\frac{3}{4}$ となり、接線の方程式は

$y-3 = -\frac{3}{4}(x-5)$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 3$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4}$

2つの接線の交点を求めます。

$\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4}$

$\frac{6}{4}x = \frac{12}{4}$

$x = 2$

$y = \frac{3}{4}(2) + \frac{15}{4} = \frac{6}{4} + \frac{15}{4} = \frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 円①の中心の座標は (2,-1)

(2) AB=6

(3) 2つの接線の交点の座標は (2, 21/4)