関数 $f(x) = -x^2 + 2ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 1$) の最大値が6であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 1$) の最大値が6であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) - a = -(x - a)^2 + a^2 - a$

よって、軸は $x = a$ である。

定義域が $0 \le x \le 1$ であるから、軸の位置で場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき、 $f(x)$ は $x=0$ で最大値をとる。

$f(0) = -0^2 + 2a(0) - a = -a = 6$

よって、$a = -6$ 。これは $a < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$f(x)$ は $x=a$ で最大値をとる。

$f(a) = -(a - a)^2 + a^2 - a = a^2 - a = 6$

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a - 3)(a + 2) = 0$

$a = 3, -2$

$0 \le a \le 1$ を満たす解はない。

(iii) $a > 1$ のとき、$f(x)$ は $x=1$ で最大値をとる。

$f(1) = -1^2 + 2a(1) - a = -1 + 2a - a = a - 1 = 6$

よって、$a = 7$。これは $a > 1$ を満たす。

以上より、$a = -6, 7$ である。

3. 最終的な答え

$a = -6, 7$