質量 $m = 100$ kg、回転半径 $r = 500$ mm の物体の慣性モーメント $I$ を求めます。ここでは、物体が質量が一点に集中していると仮定して計算します。

## 解答

以下に、与えられた問題の解答を示します。

### 8.1

1. 問題の内容

質量 $m = 100$ kg、回転半径 $r = 500$ mm の物体の慣性モーメント $I$ を求めます。ここでは、物体が質量が一点に集中していると仮定して計算します。

2. 解き方の手順

慣性モーメントの公式 $I = mr^2$ を使用します。半径はメートル単位に変換する必要があります。

$r = 500 \text{ mm} = 0.5 \text{ m}$

$I = mr^2 = 100 \text{ kg} \times (0.5 \text{ m})^2$

3. 最終的な答え

$I = 25 \text{ kg m}^2$

### 8.2

1. 問題の内容

質量 $m = 1.0$ kg、直径 $d = 2.4$ m の薄い円板の中心 G を軸として回るときの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

薄い円板の中心軸周りの慣性モーメントの公式 $I = \frac{1}{2}mr^2$ を使用します。半径は直径の半分なので、 $r = \frac{d}{2} = \frac{2.4 \text{ m}}{2} = 1.2 \text{ m}$

$I = \frac{1}{2}mr^2 = \frac{1}{2} \times 1.0 \text{ kg} \times (1.2 \text{ m})^2$

3. 最終的な答え

$I = 0.72 \text{ kg m}^2$

### 8.3

1. 問題の内容

問題8.2の円板について、中心Gから $0.5$ m離れた点Oを軸として回るときの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

平行軸の定理を使用します。平行軸の定理は、$I = I_G + md^2$ で表されます。ここで、$I_G$ は中心 G 周りの慣性モーメント、$m$ は質量、$d$ は軸間の距離です。

$I_G = 0.72 \text{ kg m}^2$ (問題8.2より)

$m = 1.0 \text{ kg}$

$d = 0.5 \text{ m}$

$I = I_G + md^2 = 0.72 \text{ kg m}^2 + 1.0 \text{ kg} \times (0.5 \text{ m})^2$

3. 最終的な答え

$I = 0.72 + 0.25 = 0.97 \text{ kg m}^2$

### 8.4

1. 問題の内容

半径 $r = 10$ cm、質量 $m = 10$ kg の球の中心を通る軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

球の中心を通る軸のまわりの慣性モーメントの公式 $I = \frac{2}{5}mr^2$ を使用します。半径はメートル単位に変換する必要があります。

$r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$

$I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5} \times 10 \text{ kg} \times (0.1 \text{ m})^2$

3. 最終的な答え

$I = 0.04 \text{ kg m}^2$

### 8.5

1. 問題の内容

単位長さ当たりの質量が $1.0$ kg/m の一様な材質で、長さ $L = 5.0$ m のまっすぐな棒が横たわっています。この棒の重心を通り棒に直交する軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

一様な棒の重心を通る軸のまわりの慣性モーメントの公式 $I = \frac{1}{12}mL^2$ を使用します。全質量 $m$ は単位長さあたりの質量に長さをかけたものです。

$m = 1.0 \text{ kg/m} \times 5.0 \text{ m} = 5.0 \text{ kg}$

$I = \frac{1}{12}mL^2 = \frac{1}{12} \times 5.0 \text{ kg} \times (5.0 \text{ m})^2$

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{12} \times 5.0 \times 25 = \frac{125}{12} \approx 10.42 \text{ kg m}^2$

### 8.6

1. 問題の内容

密度 $\rho = 7.8 \times 10^{-6} \text{ kg/mm}^3$ の物質でできた直方体があり、各辺は正面から見た幅が $w = 200$ mm、奥行きが $d = 50$ mm、高さが $h = 120$ mm です。その正面から見た面に垂直で中心を通る軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

直方体の軸周りの慣性モーメントの公式 $I = \frac{1}{12}m(w^2 + h^2)$ を使用します。質量 $m$ は密度に体積をかけたものです。体積は $V = w \times d \times h$ で求められます。

$V = 200 \text{ mm} \times 50 \text{ mm} \times 120 \text{ mm} = 1200000 \text{ mm}^3 = 1.2 \times 10^6 \text{ mm}^3$

$m = \rho V = 7.8 \times 10^{-6} \text{ kg/mm}^3 \times 1.2 \times 10^6 \text{ mm}^3 = 9.36 \text{ kg}$

$I = \frac{1}{12}m(w^2 + h^2) = \frac{1}{12} \times 9.36 \text{ kg} \times ((200 \text{ mm})^2 + (120 \text{ mm})^2)$

$I = \frac{1}{12} \times 9.36 \times (40000 + 14400) = \frac{1}{12} \times 9.36 \times 54400 = \frac{509184}{12} = 42432 \text{ kg mm}^2$

単位を $\text{kg m}^2$ に変換します。 $1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}$ なので $1 \text{ m}^2 = 10^6 \text{ mm}^2$. よって $1 \text{ kg mm}^2 = 10^{-6} \text{ kg m}^2$.

$I = 42432 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2 = 0.042432 \text{ kg m}^2$

3. 最終的な答え

$I \approx 0.0424 \text{ kg m}^2$