K市の人口に関する問題で、5年前の人口、現在の人口、および増加率 $r$ が与えられています。現在の人口 $y$ を用いて、いくつかの式を完成させ、9年後の人口 $y'$ がどの範囲に入るかを推定します。

1. 問題の内容

K市の人口に関する問題で、5年前の人口、現在の人口、および増加率 $r$ が与えられています。現在の人口 $y$ を用いて、いくつかの式を完成させ、9年後の人口 $y'$ がどの範囲に入るかを推定します。

2. 解き方の手順

まず、現在の人口 $y = 138000$ を $10^5$ で表すことを考えます。$y = 138000 = 1.38 \times 10^5$ なので、

$y = 10^5 \times 1.38$ となります。したがって、「セ」には 1.38 が入ります。

次に、$log_{10} y$ を求めます。$y = 1.38 \times 10^5$ より、

$log_{10} y = log_{10} (1.38 \times 10^5) = log_{10} 1.38 + log_{10} 10^5 = log_{10} 1.38 + 5$ となります。

また、5年前の人口は100000人であり、毎年 $r$ 倍になっているので、

$y = 100000 \times r^5 = 10^5 \times r^5$ と表せます。

$log_{10} y = log_{10} (10^5 \times r^5) = log_{10} 10^5 + log_{10} r^5 = 5 + 5 log_{10} r$

したがって、$log_{10} y = 5 + 5 log_{10} r$ となり、「ソ」には 5、「タ」には 5 が入ります。

$log_{10} y = log_{10} (1.38 \times 10^5) = log_{10} 1.38 + log_{10} 10^5 = 5 + log_{10} 1.38$ なので、「チ」には 5 が入ります。

$log_{10} y = 5 + 5 log_{10} r$ と $log_{10} y = 5 + log_{10} 1.38$ より、

$5 + 5 log_{10} r = 5 + log_{10} 1.38$ となるので、

$5 log_{10} r = log_{10} 1.38$

$log_{10} r = \frac{1}{5} log_{10} 1.38$

したがって、「ツ」には $\frac{1}{5} log_{10} 1.38$ が入ります。

9年後の人口 $y'$ は、現在の人口 $y$ から $r^9$ 倍になるので、

$y' = y \times r^9 = 1.38 \times 10^5 \times r^9 = 10^5 \times 1.38 \times r^9$

$y' = 10^5 \times 1.38 \times r^9$ と表せます。

ここで、$r = 10^{\frac{1}{5} log_{10} 1.38}$ より、

$r^9 = (10^{\frac{1}{5} log_{10} 1.38})^9 = 10^{\frac{9}{5} log_{10} 1.38}$ となります。

したがって、$y' = 10^5 \times 1.38 \times r^9$ より、「テ」には $1.38 \times r^9$ と表せるので、$1.38 \times 10^{\frac{9}{5} log_{10} 1.38}$が入ります。しかし選択肢にないため、別の考え方をします。

$y' = y \times r^9 = 138000 \times r^9 = 138000 \times (10^{\frac{1}{5} log_{10} 1.38})^9 = 138000 \times (10^{log_{10} 1.38})^{\frac{9}{5}} = 138000 \times (1.38)^{\frac{9}{5}}$

$y' = 138000 \times (1.38)^{\frac{9}{5}} \approx 138000 \times 1.671 = 230698$

小数点第4位を四捨五入しているため、この値を用います。

$y' \approx 230698$なので、230000以上240000未満に入ります。

3. 最終的な答え

セ: 1.38

ソ: 5

タ: 5

チ: 5

ツ: $\frac{1}{5} log_{10} 1.38$

テ: $r^9$

ト: 230000以上240000未満