直角を挟む2辺が4mと8mの直角三角形の敷地があり、その中に長方形の花壇を作る。花壇の面積を最大化する問題。ただし、いくつかの制約条件がある。 (1) $PQ=x$ とするとき、$x$の取り得る値の範囲を求める。 (2) $x=2$ のときの、花壇の面積$T$ を求める。 (3) 線分 $PR$ を $x$ で表し、花壇の面積 $T$ を $x$ で表す。 (4) 花壇の面積 $T$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $T$ の値を求める。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺が4mと8mの直角三角形の敷地があり、その中に長方形の花壇を作る。花壇の面積を最大化する問題。ただし、いくつかの制約条件がある。

(1) $PQ=x$ とするとき、$x$の取り得る値の範囲を求める。

(2) $x=2$ のときの、花壇の面積$T$ を求める。

(3) 線分 $PR$ を $x$ で表し、花壇の面積 $T$ を $x$ で表す。

(4) 花壇の面積 $T$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $T$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $PQ=x$ とすると、$\triangle ABC$ と $\triangle PBQ$ は相似であるから、$AC:BC = PQ:PB$ が成り立つ。すなわち $4:8 = x:PB$ となり、$PB = 2x$ である。また、$P$ は $AB$ 上にあるので、$x > 0$。さらに、花壇が校舎からはみ出さないようにするために、$CR \le CD$ が成り立つ必要がある。$BD = 2$ より、$AD = AB - BD = AB - 2$。$AB = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。したがって、$AD = 4\sqrt{5} - 2$。

$CR = AQ = AC - QC = AC - PB = 4 - 2x$。$CD = 2$ であるから、$4 - 2x \le 2$。

$2 \le 2x$ より、$x \ge 1$。点Pは辺AB上にあるので $0 < x$。

$PB = 2x$ より，$0 < PB < 4 \sqrt{5}$より，$x < 2 \sqrt{5}$。

$0 < x \le 1$

(2) $x=2$ のとき、$PB = 2x = 4$。$QC = PB = 4$, $AQ = AC - QC = 4 - 4 = 0$。$PR = BQ$である。$\triangle PBQ$ において、$PB = 4$、$PQ = 2$ より、$BQ = \sqrt{PB^2 + PQ^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。$CR = 0$。

花壇の面積 $T = PQ \cdot QC = 2 \cdot 0 = 0$。

(3) $\triangle PBQ$ において、$PB = 2x$、$PQ = x$。したがって、$BQ = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{4x^2+x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$。$PR = BQ = x\sqrt{5}$。

$QC = PB = 2x$ より、長方形 $PQCR$ の面積 $T$ は、$T = PQ \cdot QC = x \cdot (4 - 2x) = 4x - 2x^2$。

$T= x * AQ = QC * PQ = PQ(AC-AQ) = x(4-2x)$

(4) $T = 4x - 2x^2 = -2(x^2 - 2x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2((x-1)^2 - 1) = -2(x-1)^2 + 2$。

したがって、$T$ が最大となるのは $x=1$ のときで、その値は $2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x \le 1$

(2) $T = 0$

(3) $PR = x \sqrt{5}$、$T = 4x - 2x^2$

(4) $x = 1$ のとき、$T = 2$