制約条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、$f(x,y) = x^2 + y$ の最大値と最小値をラグランジュの未定乗数法を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

制約条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、$f(x,y) = x^2 + y$ の最大値と最小値をラグランジュの未定乗数法を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = x^2 + y - \lambda(x^2 + 2y^2 - 1)$ と定義します。

偏微分を計算し、連立方程式を解きます。

(1) $\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0$

(2) $\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 4\lambda y = 0$

(3) $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + 2y^2 - 1) = 0$ すなわち $x^2 + 2y^2 = 1$

式(1)より、$2x(1-\lambda)=0$なので、$x=0$ または $\lambda=1$

(i) $x=0$ のとき:

式(3)より、$2y^2 = 1$ なので $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

このとき、$f(0, \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ と $f(0, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(ii) $\lambda = 1$ のとき:

式(2)より、$1-4y=0$ なので $y = \frac{1}{4}$.

式(3)より、$x^2 + 2(\frac{1}{4})^2 = 1$ すなわち $x^2 + \frac{1}{8} = 1$. よって $x^2 = \frac{7}{8}$ なので $x = \pm \frac{\sqrt{14}}{4}$.

このとき、$f(\pm \frac{\sqrt{14}}{4}, \frac{1}{4}) = \frac{7}{8} + \frac{1}{4} = \frac{7+2}{8} = \frac{9}{8}$.

これらを比較すると、$\frac{9}{8} = 1.125$, $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$

最小値: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$