ラグランジュの乗数法を用いて、以下の関数の極値を取る候補点を求めます。 (1) $z = 2x + y$ (制約条件: $x^2 + y^2 = 1$) (2) $z = x^2 + 4xy + 4y^2$ (制約条件: $x^2 + y^2 = 1$)

1. 問題の内容

ラグランジュの乗数法を用いて、以下の関数の極値を取る候補点を求めます。

(1) $z = 2x + y$ (制約条件: $x^2 + y^2 = 1$)

(2) $z = x^2 + 4xy + 4y^2$ (制約条件: $x^2 + y^2 = 1$)

2. 解き方の手順

(1) $z = 2x + y$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = 2x + y + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$ を定義します。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 + 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 + 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0$

これらの式から、$x = -\frac{1}{\lambda}$, $y = -\frac{1}{2\lambda}$ を得ます。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$(-\frac{1}{\lambda})^2 + (-\frac{1}{2\lambda})^2 = 1$

$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{5}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) $z = x^2 + 4xy + 4y^2$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = x^2 + 4xy + 4y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$ を定義します。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 4y + 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 4x + 8y + 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0$

$x + 2y + \lambda x = 0$

$2x + 4y + \lambda y = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

第1式から $x + 2y = -\lambda x$

第2式から $2(x + 2y) = -\lambda y$

したがって、$-2\lambda x = -\lambda y$

$\lambda \ne 0$ ならば $y = 2x$

$x^2 + (2x)^2 = 1$

$5x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{5}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ (xとyは同符号)

$x = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{5}}$のとき, $z = (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + 4(\frac{1}{\sqrt{5}})(\frac{2}{\sqrt{5}}) + 4(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{8}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5$

$x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$, $y = -\frac{2}{\sqrt{5}}$のとき, $z = (-\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + 4(-\frac{1}{\sqrt{5}})(-\frac{2}{\sqrt{5}}) + 4(-\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{8}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5$

$\lambda = 0$ならば, $x + 2y = 0$ かつ $2x + 4y = 0$

$x = -2y$

$x^2 + y^2 = (-2y)^2 + y^2 = 5y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$x = \mp \frac{2}{\sqrt{5}}$ (xとyは異符号)

$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}}$のとき, $z = (-\frac{2}{\sqrt{5}})^2 + 4(-\frac{2}{\sqrt{5}})(\frac{1}{\sqrt{5}}) + 4(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4}{5} = 0$

$x = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき, $z = (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 + 4(\frac{2}{\sqrt{5}})(-\frac{1}{\sqrt{5}}) + 4(-\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4}{5} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}), (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

(2) $(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}), (-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}), (-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}), (\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$